Question

已知，

（1）求在处的切线方程以及的单调性；

（2）对，有恒成立，求的最大整数解；

（3）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：.

Answer

（1）切线方程为；单调递减区间为，单调递增区间为（2）的最大整数解为（3）证明见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，求出，即可得到切线方程，解得到单调递增区间，解得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；

（2）等价于，求导分析的单调性，即可求出的最大整数解；

（3）由，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；

【解析】
（1）

所以定义域为

；

；

所以切线方程为；

，

令解得

令解得

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）等价于；

，

记，，所以为上的递增函数，

且，，所以，使得

即，

所以在上递减，在上递增，

且；

所以的最大整数解为.

（3），得，

当，，，；

所以在上单调递减，上单调递增，

而要使有两个零点，要满足，

即；

因为，，令，

由，，

即：，

而要证，

只需证，

即证：

即：由，只需证：，

令，则

令，则

故在上递增，；

故在上递增，；

.