Question

如图,四边形ABCD为直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC=2,AD=3,四边形ABEF为平行四边形,AB=1,BE=2,∠EBA=60°,平面ABEF⊥平面ABCD.

(1)求证:AE⊥平面ABCD;

(2)求平面ABEF与平面FCD所成锐二面角的余弦值.

Answer

(1)见解析(2).

【解析】

（1）在平行四边形中求得的长，用勾股定理逆定理证明，然后由面面垂直的性质定理得线面垂直；

（2）以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系,写出各点坐标，求出平面法向量，由法向量夹角得二面角．

(1)证明:∵四边形ABEF为平行四边形,AB=1,BE=2,∠EBA=60°,

∴AE,

∴AB2+AE2=BE2,∴AB⊥AE,

∵平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB.

∴AE⊥平面ABCD.

(2)解:∵四边形ABCD为直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC=2,AD=3,

∴以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(1,0,0),E(0,0,),F(﹣1,0,),C(1,2,0),D(0,3,0),

(1,0,0),(2,2,),

设平面FCD的法向量(x,y,z),

则,取y,得(0,,2),

平面ABEF的法向量(0,1,0),

设平面ABEF与平面FCD所成锐二面角的平面角为θ,

则cosθ.

∴平面ABEF与平面FCD所成锐二面角的余弦值为.