Question

已知函数f(x)=ax+blnx(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为yx﹣1.

(1)求a､b的值;

(2)当x>1时,f(x)0恒成立,求实数k的取值范围;

(3)设g(x)=e^xx,求证:对于x∈(0,+∞),g(x)﹣f(x)>2恒成立.

Answer

(1)a,b=1.(2)k∈.(3)见解析

【解析】

（1）求导数，利用切线方程可得，从而可求得；

（2）x>1时,f(x)0恒成立,转化为恒成立，求的最小值即可；

（3）g(x)﹣f(x)﹣2=exx﹣(x+lnx)﹣2=ex﹣lnx﹣2>0在x∈(0,+∞)上恒成立.

⇔ex﹣x﹣1>lnx﹣x+1在x∈(0,+∞)上恒成立.这样只要求得的最小值，的最大值，即可证明．

(1)f′(x)=a.

函数f(x)=ax+blnx(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为yx﹣1.

∴=a+b,f(1)=a1,

解得a,b=1.

(2)f(x)x+lnx,

当x>1时,f(x)0恒成立,

等价于:k,x∈(1,+∞).

令u(x)x2﹣xlnx,x∈(1,+∞).

则u′(x)=x﹣lnx﹣1,

令v(x)=x﹣lnx﹣1,x∈(1,+∞).

∴v′(x)=10,

∴u′(x)=x﹣lnx﹣1>u′(1)=0,

∴u(x)在x∈(1,+∞)上单调递增.

∴k≤u(1).

∴k∈.

(3)证明:设g(x)=exx,

g(x)﹣f(x)﹣2=exx﹣(x+lnx)﹣2=ex﹣lnx﹣2>0在x∈(0,+∞)上恒成立.

⇔ex﹣x﹣1>lnx﹣x+1在x∈(0,+∞)上恒成立.

令F(x)=ex﹣x﹣1,x∈(0,+∞).G(x)=lnx﹣x+1,x∈(0,+∞).

F′(x)=ex﹣1,x∈(0,+∞).

则F′(x)>F′(0)=0,

∴F(x)>F(0)=0.

G′(x),

可得x=1时,函数G(x)取得极大值即最大值,

∴G(x)≤G(1)=0.

∴g(x)﹣f(x)﹣2>0在x∈(0,+∞)上恒成立.