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如图,在四棱锥中,,,,,O为的中点. (1)证明:平面; (2)若,,,求二面...

如图,在四棱锥中,O的中点.

1)证明:平面

2)若,求二面角的余弦值.

 

(1)证明见解析;(2). 【解析】 (1)取的中点F,连接,易得,,由线面垂直判定定理可得平面,进而,再将与线面垂直判定定理相结合即可得结果. (2)建立如图所示的空间直角坐标系,可求出平面的一个法向量,取平面的一个法向量,根据图象结合即可得结果. (1)证明:取的中点F,连接. 因为,F为的中点,所以. 因为O为中点,F为的中点,所以. 因为,所以, 因为,平面,平面,所以平面. 又平面,所以. 因为,O为的中点,所以. 因为,平面,平面, 所以平面. (2)【解析】 以O为坐标原点,所在直线为x轴,平行的直线为y轴,所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,∵, ∴,∴, 则,,,,, 因为,所以, 故,. 设平面的法向量,则 不妨取,则 平面的一个法向量,记二面角的大小为, 由图可知为锐角,则.
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