Question

如图，在四棱锥中，，，，，O为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，，，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点F，连接，易得，，由线面垂直判定定理可得平面，进而，再将与线面垂直判定定理相结合即可得结果.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，可求出平面的一个法向量，取平面的一个法向量，根据图象结合即可得结果.

（1）证明：取的中点F，连接.

因为，F为的中点，所以.

因为O为中点，F为的中点，所以.

因为，所以，

因为，平面，平面，所以平面.

又平面，所以.

因为，O为的中点，所以.

因为，平面，平面，

所以平面.

（2）【解析】
以O为坐标原点，所在直线为x轴，平行的直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵，

∴，∴，

则，，，，，

因为，所以，

故，.

设平面的法向量，则

不妨取，则

平面的一个法向量，记二面角的大小为，

由图可知为锐角，则.