Question

已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上，且的最小值是（为坐标原点）.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）已知动直线与圆：相切，且与椭圆交于，两点.是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）存在

【解析】

（1）根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程；

（2）分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，相切即圆心到直线距离等于半径，即向量的数量积为零，进行代数运算即可求解.

（1）因为的最小值是，所以，

因为椭圆的焦距为，所以，即，

所以，

故椭圆的标准方程是；

（2）①当直线的斜率不存在时，

因为直线与圆相切，所以直线的方程为，

则直线与椭圆的交点为或，

因为，所以，所以，即，

②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，.

联立，整理得，

则，，

因为，在直线上，所以，

将，代入上式，得，

因为，所以，即，

因为动直线与圆相切，所以，所以，即，

综上，存在，使得.