Question

已知数列的前项和，数列满足.

（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的的最大值.

Answer

(Ⅰ) ；(Ⅱ)4.

【解析】

(Ⅰ)利用，整理可得数列是首项和公差均为1的等差数列，求出的通项公式可得数列的通项公式；(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 ，利用裂项相消法求得，解不等式可得结果.

(Ⅰ) ，

当时，，

，
化为，
，

即当时,，
令,可得,即.
又,数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是，.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得

,

,

可得，，

因为是自然数，所以的最大值为4.