Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为正方形，AA₁=2，AB=1，E为AD中点，F为CC₁中点.

（1）求证：AD⊥D₁F；

（2）求证：CE//平面AD₁F；

（3）求AA₁与平面AD₁F成角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

长方体中有垂直关系，因此以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，

（1）求出两条直线的方向向量，由向量垂直得直线垂直；

（2）求直线方向向量，平面的法向量，由方向向量与法向量垂直，证得线面平行；

（3）求直线方向向量，平面的法向量，由直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，再计算余弦值．

（1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

A（1，0，0），D（0，0，0），D1（0，0，2），F（0，1，1），

=（-1，0，0），=（0，1，-1），

=0，

∴AD⊥D1F.

（2）证明：E（，0，0），C（0，1，0），A（1，0，0），

D1（0，0，2），F（0，1，1），

=（，-1，0）， =（-1，0，2）， =（-1，1，1），

设平面AD1F的法向量=（x，y，z），

则，取z=1，得=（2，1，1），

∵==0，CE⊄平面AD1F，

∴CE//平面AD1F.

（3）【解析】
=（0，0，2），平面AD1F的法向量=（2，1，1），

设AA1与平面AD1F成角为θ，

则sinθ===，

cosθ==.

∴AA1与平面AD1F成角的余弦值为.