Question

已知函数，且时，总有成立．

求a的值；

判断并证明函数的单调性；

求在上的值域．

Answer

（1） ； （2）见解析； (3) .

【解析】

试题根据条件建立方程关系即可求a的值；

根据函数单调性的定义判断并证明函数的单调性；

结合函数奇偶性和单调性的定义即可求在上的值域．

试题解析：

，，即，

，

．

函数为R上的减函数，

的定义域为R，

任取，且，

.

．

即

函数为R上的减函数．

由知，函数在上的为减函数，

，

即，

即函数的值域为.

点晴：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.