Question

如图，已知是椭圆的左焦点，且椭圆经过点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点的直线交椭圆于、两点，线段的中点为，过且与垂直的直线与轴和轴分别交于、两点，记、的面积分别为、．若，求直线的方程．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由左焦点及椭圆过的点及、、之间的关系求出椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线的方程，与椭圆方程联立求出两根之和及之积，写出中点坐标，进而写出直线的方程，求出面积之比，由题意得直线的斜率，进而求出直线的方程．

（Ⅰ）设椭圆的焦距为，

由题意得：，，，解得：，，

所以，椭圆的方程为；

（Ⅱ）由题意得，直线的斜率不为零，

设直线的方程为，设点、，

联立与椭圆的方程，消去，整理得，

由韦达定理得，，

，

所以线段的中点的坐标，

所以直线的方程为，即，

由题意得，，，，

即，整理得，，则，

所以直线的方程为.