Question

已知函数，．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求导后，分、及三种情况讨论，分析导数在区间上符号的变化，即可得出函数的单调区间；

（Ⅱ）原命题等价于，令函数，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围.

（Ⅰ），定义域为，且.

①当时，令，得.

若，；若，.

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

②当时，对任意的，，

此时，函数的单调递减区间为；

③当时，令，得.

若，；若，.

此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（Ⅱ）由即为，令，

则，

令，则，令，得.

当时，，当时，.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

，

当时，，当时，.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以，函数的最小值为，.

因此，实数的取值范围是.