Question

如图，在三棱锥中，底面，．点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）4

【解析】

（1）取中点，连接、，证明平面平面得到答案.

（2）以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.

（3）设，则，，，利用夹角公式计算得到答案.

（1）取中点，连接、，∵为中点，∴，

∵平面，平面，∴平面．

∵为中点，∴，

又、分别为、的中点，∴，则．

∵平面，平面，∴平面．

又，平面，平面

∴平面平面，又平面，则平面．

（2）∵底面，．

∴以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．

∵，，

∴，，，，，，

则，，设平面的一个法向量为，

由，得，取，得．

由图可得平面的一个法向量为．

∴．

∴二面角的余弦值为，则正弦值为．

（3）设，则，，．

∵直线与直线所成角的余弦值为，∴．

解得：或（舍）．

∴当与重合时直线与直线所成角的余弦值为，此时线段的长为4．