Question

在平面直角坐标系中，已知、分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且，若，求直线的斜率．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）将点和点代入椭圆方程计算得到答案.

（2）设直线的斜率为，直线的方程为，联立方程解得点坐标为

，点坐标为，根据计算得到答案.

（1）∵椭圆经过点和点，∴，

∴解得，，，∴椭圆的方程为.

（2）设直线的斜率为，∴直线的方程为，

∵由方程组，∴消去，整理得，

∴解得或，∴点坐标为．

由知，点在的中垂线上，又∵在直线上，∴点坐标为，

∴，，

若∵，∴，

∴解得，∴，∴直线的斜率．