Question

已知数列的前项和为，满足，且．正项数列满足，其前7项和为42．

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围；

（3）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前项和．

Answer

（1），；（2）；（3），

【解析】

（1）是首项为，公差为的等差数列，计算得到；化简得到，计算得到答案.

（2），，设，根据单调性得到，只需即可.

（3）讨论为偶数，和三种情况，分别计算得到答案.

（1），故是首项为，公差为的等差数列，故

，当时，，时满足，故

，则，即

前7项和，故

（2）

，即

易知函数，单调递增，故

（3）当为偶数时：

；

当时，；

当时，

故