Question

设函数．

（1）若不等式对恒成立，求的值；

（2）若在内有两个极值点，求负数的取值范围；

（3）已知，，若对任意实数，总存在正实数，使得成立，求正实数的取值集合．

Answer

（1）=；（2）；（3）

【解析】

（1）讨论，和三种情况，分别计算得到答案.

（2）求导得到，讨论，，三种情况，分别计算得到答案.

（3）在上是增函数，其值域为，若，则函数在上是增函数，值域为，记，则

根据得到答案.

（1）若，则当时，，，，不合题意；

若，则当时，，，，不合题意；

若，则当时，，，，

当时，，，，

当时，，满足题意，因此=．

（2），，

令，，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因此 点，在

（i）当时，，，在内至多有一个极值点．

（ii）当时，由于，所以，

而，，，

因此在上无零点，在上有且仅有一个零点，

从而上有且仅有一零点，在内有且仅有一个极值点．

（iii）当时，，，，

因此在上有且仅有一个零点，

从而在上有且仅有两个零点，在内有且仅有两个极值点．

综上所述，的取值范围为．

（3）因为对任意实数，总存在实数，使得成立，

所以函数的值域为．

在上是增函数，其值域为，

对于函数，，当时，，

当时，，函数在上为单调减函数，

当时，，函数在上为单调增函数．

若，则函数在上是增函数，在上是减函数，其值域为，又，不符合题意，舍去；

若，则函数在上是增函数，值域为，

由题意得，即 ①

记，则

当时，，在上为单调减函数．

当时，，在上为单调增函数．所以，当时，有最小值，

从而恒成立（当且仅当时， ②

由①②得，，所以．

综上所述，正实数的取值集合为．