Question

用一个长为，宽为的矩形铁皮（如图1）制作成一个直角圆形弯管（如图3）：先在矩形的中间画一条曲线，并沿曲线剪开，将所得的两部分分别卷成体积相等的斜截圆柱状（如图2），然后将其中一个适当翻转拼接成直角圆形弯管（如图3）（不计拼接损耗部分），并使得直角圆形弯管的体积最大；

（1）求直角圆形弯管（图3）的体积；

（2）求斜截面椭圆的焦距；

（3）在相应的图1中建立适当的坐标系，使所画的曲线的方程为，求出方程并画出大致图像；

Answer

（1）； （2）2； （3）见解析；

【解析】

（1）直角圆形弯管的体积即为圆柱的体积，要使直角圆形弯管的体积最大，可取圆柱的高为，半径为1，计算可得所求体积；

（2）求得，以矩形的下边的中点为，下边所在直线为轴，建立所示的直角坐标系，设出曲线方程，应用周期性和对称性，求得方程，再由椭圆的长轴和短轴的关系，可得焦距；

（3）由（2）可得方程，画出方程表示的曲线．

【解析】
（1）直角圆形弯管的体积即为圆柱的体积，

要使直角圆形弯管的体积最大，

可取圆柱的高为，

那么圆柱的底面半径为，

即有直角圆形弯管（图的体积为；

（2）由图2可得椭圆短轴长为，即，

可以矩形的下边的中点为，

下边所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，

由周期为，可得，

再由时，；时，，

又，可得，

所求方程为，，

可得，

解得，，

可得椭圆的焦距为2；

（3）由（2）可得，方程为，，

图象如右图．