Question

如图,在平行四边形ABCD中,,四边形ACEF为正方形,且平面平面ACEF.

(1)证明:;

(2)求平面BEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值.

Answer

(1)见解析 (2) .

【解析】

（1）利用余弦定理得到，证明，，得到平面ACEF得到答案.

（2）分别以AB,AC,AF所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系，计算平面BEF的一个法向量，平面BCF的一个法向量为，计算夹角得到答案.

(1)在平行四边形ABCD中,,

在中,由余弦定理得:,

即,

由,

所以

又四边形ACEF为正方形,所以,

又平面平面ACEF,平面平面ACEF=AC

所以平面ABCD,所以,

又，所以平面ACEF,平面ACEF

所以.

(2)由AB,AC,AF两两垂直,分别以AB,AC,AF所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则

设平面BEF的一个法向量,,

则取

同理可得平面BCF的一个法向量为

设平面BEF与平面BCF所成锐二面角的平面角为,

则.

平面BEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为.