Question

已知函数.

(1)求证:当时,对任意恒成立;

(2)求函数的极值;

(3)当时,若存在且,满足,求证:.

Answer

(1)见解析 (2)极小值,无极大值. (3)见解析

【解析】

（1）求导得到，即，函数单调递增，得到证明.

（2），讨论和两种情况，分别计算极值得到答案.

（3）在上为增函数，当时不成立，不防设

，计算得到，即证，设,只需证，计算最值得到证明.

(1)

,,

在上为增函数,

所以当时,恒有成立;

(2)由

当在上为增函数,无极值

当

在上为减函数,在上为增函数,

有极小值,无极大值,

综上知:当无极值,

当有极小值,无极大值.

(3)当在上为增函数,

由(2)知,当,在上为增函数,

这时,在上为增函数,

所以不可能存在,

满足且

所以有

现不防设得:

①

②

由①②式可得:

即

又

③

又要证即证

即证……④

所以由③式知,只需证明:即证

设,只需证,即证:

令

由在上为增函数,

成立,

所以由③知,成立,

所以成立.