Question

已知函数.

（1）求的单调区间与极值；

（2）当函数有两个极值点时，求实数a的取值范围.

Answer

（1）减区间，增区间 ，极小值为，无极大值；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导函数，根据导函数即可求出单调区间以及极值；

（2）求出的导函数，使导函数有两个根，采用分离参数法，结合（1）中的值域即可求出参数的取值范围．

【解析】
（1）由，

则，

令，则，

令，即，解得，

所以函数的单调递增区间为；

令，即，解得，

所以函数的单调递减区间为；

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在处取得极小值，极小值，无极大值.

综上所述，单调递增区间为；单调递减区间为；极小值为2，无极大值；

（2）由，

则，

若有两个极值点，则有两个根

即有两解，即，

即与有两个交点，

由（1）可知在上单调递减；在上单调递增，

，所以；

考虑函数，，

由洛必达法则：，

，，

所以若与有两个交点，则．