Question

某专营店经销某商品，当售价不高于10元时，每天能销售100件，当价格高于10元时，每提高1元，销量减少3件，若该专营店每日费用支出为500元，用x表示该商品定价，y表示该专营店一天的净收入（除去每日的费用支出后的收入）．

（1）把y表示成x的函数；

（2）试确定该商品定价为多少元时，一天的净收入最高？并求出净收入的最大值．

Answer

（1）见解析（2）定价为22元时，最大值908元.

【解析】

（1）根据条件建立分段函数关系即可；

（2）结合一元二次函数的最值性质即可求出函数的最值．

（1）当0≤x≤10，y＝100x﹣500，

当x＞10，销量为100﹣3（x﹣10）＝﹣3x+130，此时y＝（﹣3x+130）x﹣500＝﹣3x2+130x﹣500，

故y．

（2）当0≤x≤10，y＝100x﹣500≤500，

当x＞10，y＝﹣3x2+130x﹣500＝﹣3（x）2+（）2﹣500，

∵x∈N，

∴当x＝22时，函数取得最大值，此时y＝﹣3×222+130×22﹣500＝908，

综上当商品定价为22元时，一天的净收入最高，净收入的最大值为908．