Question

已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点.

（1）求圆的标准方程；

（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；

（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标.

Answer

（1）（2）或（3）证明见解析，定点

【解析】

（1）圆以为圆心，为半径，直接写出圆的标准方程；

（2）对直线的斜率进行讨论，再利用弦长公式和点到直线距离公式，可求得直线的斜率，再由点斜式方程求得答案；

（3）设直线：，，，利用

得到的关系，从而证得结论.

（1）圆以为圆心，为半径，

所以圆的标准方程为.

（2）①不存在时，直线的方程为：；

②存在时，设直线的方程为：，

联立方程，

所以直线的方程为：，

综上所述，直线的方程为或.

（3）设直线：，，，

①

联立方程，

所以，代入①

得，

化简得，所以直线的方程为：，所以过定点.