Question

函数.

（1）求在处的切线方程（为自然对数的底数）；

（2）设，若，满足，求证：.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）求出导函数，切线方程为，化简即可；

（2）先由导数确定在上单调递增，不妨设，则，又，，则，于是，这是重要的一个结论，构造函数，求出，可确定在上递减，于是，于是，下面只要证明即可。

（1），则，

故在处的切线方程为即；

（2）证明：由题可得，，

当时，，则；当时，，则，

所以，当时，，在上是增函数.

设，

则，

当时，，则，在上递减.

不妨设，由于在上是增函数，则，

又，，则，于是，

由，在上递减，

则，所以，则，

又，在上是增函数，所以，，即.