Question

如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值

Answer

（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，根据条件证明，即；

（2）以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

（1）证明：取的中点，连接.

∵，∴为的中点.

又为的中点，∴.

依题意可知，则四边形为平行四边形，

∴，从而.

又平面，平面，

∴平面.

（2），且，

平面，平面，

，

，且，

平面，

以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，

则，，，，，

，，，.

设平面的法向量为，

则，即，

令，得.

设平面的法向量为，

则，即，

令，得.

从而，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.