Question

如图：三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，是棱的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）由题设证明平面，可得，再由已知可得，得，即，结合线面垂直的判定得平面，从而得到平面平面；

（2）依题意可知：直线，，两两垂直，以为原点，建立如图所示坐标系利用空间向量法求出线面角的正弦值.

【解析】
（1）证明：

三棱柱侧棱垂直于底面

面，故，

，面，面，

面，

面，

为中点，在中，

,

面，面，

面，面，

面面

（2）依题意可知：直线，，两两垂直以为原点，建立如图所示坐标系

设，，

，，，

，， ，

设面的法向量为

即 取

，

所以与面所成角的正弦值