Question

已知椭圆长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线过点，且与椭圆相交于另一点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若线段长为，求直线的倾斜角；

（3）点在线段的垂直平分线上，且，求的值.

Answer

（1）；（2）或；（3）或.

【解析】

（1）由椭圆长轴长为短轴长的两倍，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，列出方程组求出，，即可求椭圆的方程；

（2）直线的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求得结论．

（3）设直线的方程为，由，得，由此根据和两种情况分类讨论经，能求出结果．

【解析】
（1）椭圆长轴长为短轴长的两倍，

连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，

，

解得，．

所以椭圆的方程为．

（2）由（1）可知点的坐标是．

设点的坐标为，，直线的斜率为，则直线的方程为．

代入椭圆方程，消去并整理，得．

由，得．

从而．

所以．

由，得．

整理得，即，解得．

所以直线的倾斜角或．

（3）由（1）可知．设点的坐标为，，直线的斜率为，

则直线的方程为，

于是，两点的坐标满足方程组，

由方程组消去并整理，得，

由，得，从而，

设线段是中点为，则的坐标为，，

以下分两种情况：

①当时，点的坐标为．线段的垂直平分线为轴，于是

，，由，得；

②当时，线段的垂直平分线方程为，

令，解得，

由，，，

，

整理得，故，解得．

综上或．