Question

如图，平面，平面，四边形是边长为的菱形，，，.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）证明平面平面，从而得到线面平行；

（2）由（1）知，平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离．取的中点，连接，．证明平面，故所以点到平面的距离为，再将数据代入体积公式求解．

（1）因为平面，平面，所以，

又平面，平面，所以平面.

因为四边形是菱形，所以，

又平面，平面，

所以平面，

又，平面，平面，

所以平面平面，

又平面，所以平面.

（2）由（1）知，平面，

所以点到平面的距离等于点到平面的距离．

取的中点，连接，．

因为四边形是边长为的菱形，，

所以是边长为的等边三角形，所以，且，

又因为平面，平面，所以，

又，平面，平面，

所以平面，故所以点到平面的距离为．

所以三棱锥的体积．