Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，过点且斜率为2的直线与相切．

（1）求的标准方程；

（2）过的直线与交于两点，与轴交于点，证明：．

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）将直线方程与抛物线方程联立，由判别式等于0，求得抛物线方程中的参数值，进而得到抛物线的方程；

（2）设的方程为，，利用两点间的距离公式，并进行消参，将线段分别用进行表示，从而证明等式成立.

（1）过点且斜率为2的直线方程为，即，

设的方程为，

由消去，得，

因为直线与相切，所以，

解得（舍去）或，

所以的标准方程为.

（2）设的方程为，．

令，得，即，

由消去，得，

因为与相交，所以，解得或，

设，则，

，，

从而，

又，

所以.