Question

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围．

Answer

（1）答案见解析；（2）.

【解析】

（1）先求函数的定义域，再利用导数对函数进行求导，对参数分和两种情况讨论后，得到函数的单调区间；

（2）先证当不等式在不会成立，再进一步证明时，在单调递减，在单调递增．再对分和两种情况，研究各自的最小值大于等于，从而求得的取值范围.

（1）函数的定义域为，

，

当时，，则，故在单调递减；

当时，令，得；令，得，

故在上单调递减，在单调递增.

综上，可得当时，在单调递减；

当时，在单调递减，在单调递增.

（2）①当时，因为，所以不符合题意；

②当时，由（1），知在单调递减，在单调递增．

（ⅰ）当即时，，所以在单调递增，

故，故满足题意.

（ⅱ）当即时，在单调递减，在单调递增，

故，

当时，，当且仅当，

令，则，故在单调递减，

又，从而由即，可得，解得，

综上，可得的取值范围为．