Question

在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点（点与、不重合），则下列结论正确的个数为（     ）

①存在点，使得平面平面；

②存在点，使得平面；

③若的面积为，则；

④若、分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

Answer

C

【解析】

由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正确；由面面平行的性质定理，可得判定②正确；由三角形的面积公式，可求得的面积为的范围，可判定③错误；由三角形的面积公式，得到的范围，可判定④正确.

连接，设平面与对角线交于，

由，可得平面，即平面，

所以存在点，使得平面平面，所以①正确；

由，

利用平面与平面平行的判定，可得证得平面平面，

设平面与交于，可得平面，所以②正确；

连接交于点，过点作,

在正方体中，平面，所以，

所以为异面直线与的公垂线，

根据，所以，即，

所以的最小面积为.

所以若的面积为，则，所以③不正确；

再点从的中点向着点运动的过程中，从减少趋向于0，即，

从增大到趋向于，即，在此过程中，必存在某个点使得，

所以④是正确的.

综上可得①②④是正确的.

故选：C.