Question

已知为坐标原点，直线与圆交于、两点，，点为线段的中点.则点的轨迹方程是__________，的取值范围为__________．

Answer

【解析】

由圆的弦长公式，可得，得到，即，即可求得点的轨迹方程为，再根据向量的运算可得，结合点与圆的位置关系，即可求解的取值范围，得到答案.

由题意，圆的圆心坐标，半径，

设圆心到直线的距离为，

由圆的弦长公式，可得，即，整理得，

即，所以点的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆，

所以点的轨迹方程为，

根据向量的运算可得

又由，所以，即，

所以，

即的取值范围为.

故答案为：