Question

已知椭圆，、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线，过点的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线分别交直线、直线于、两点，当最小时，求直线的方程.

Answer

(1) (2) 或.

【解析】

（1）设椭圆的左焦点，由，解得，再结合椭圆的定义，求得的值，即可得到椭圆的方程；

（2）可设直线，联立方程组，求得，利用弦长公式，求得和的长，进而得到，利用基本不等式，求得的值，即可求解.

（1）设椭圆的左焦点，则，解得，

所以，则由椭圆定义，∴，

故椭圆的标准方程为.

（2）由题意直线的斜率必定不为零，于是可设直线，

联立方程得，

∵直线交椭圆于，，

∴

由韦达定理，

则，∴

∵，∴，∴

又

∴

当且仅当即时取等号.

此时直线的方程为或.