Question

如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．

（）求证：平面．

（）若，求与所成角的余弦值．

（）当平面与平面垂直时，求的长．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD.

又因为PA⊥平面ABCD.

所以PA⊥BD. 又因为

所以BD⊥平面PAC.

（2）设AC∩BD=O.

因为∠BAD=60°，PA="AB=2,"

所以BO=1，AO=CO=.

以O为坐标原点，OB为X轴，OC为Y轴建立空间直角坐标系O—xyz，则P（0，，2），A（0，，0），B（1，0，0），C（0，，0）.

所以

设PB与AC所成角为，则

.

（3）由（2）知

设P（0，－，t）（t>0），则

设平面PBC的法向量,

则

所以取则所以

同理，平面PDC的法向量

因为平面PCB⊥平面PDC,所以=0，即

解得，所以PA=