Question

已知函数．

（1） 试说明函数的图象是由函数的图象经过怎样的变换得到的；

（2）若函数，试判断函数的奇偶性，并用反证法证明函数的最小正周期是；

（3）求函数的单调区间和值域.

Answer

（1）见解析；（2）偶函数，周期的证明见解析；（3）值域是，增区间为，减区间为．

【解析】

（1）先由二倍角公式和两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后根据三角函数图象变换的规律求解；

（2）求出的表达式，由奇偶性定义判断奇偶性，用反证法证明周期性；

（3）根据（2）中得出的性质，在一个周期内求出函数的值域，即得函数在定义域内值域，求出一个周期内单调区间，根据函数的周期性可得所有单调区间（但要注意区间的连续性）．

（1）由题意，

把图象向右平移个单位得的图象，再把所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得的图象，最后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得的图象．

（2），

，∴是偶函数，

，是的一个周期，下面用反证法证明是最小正周期，

假设存在是的最小正周期，即恒成立，，

则，，

，

当时，，则，∴，即这与矛盾，∴假设错误，

∴是的最小正周期．

（3）由（2），当时，，

由得，，

∴，，

此时当时，，单调递增，当时，，单调递减，

∵的最小正周期是，∴时，函数的值域是．

增区间为，减区间为．