Question

已知

（1）设是周期为的偶函数，求；

（2）若在上是增函数，求的最大值；并求此时在的取值范围.

Answer

（1），；（2）的最大值为，在上的取值范围为.

【解析】

（1）利用辅助角公式化简，再利用周期公式和偶函数的性质可求；

（2）求出函数的单调增区间，利用为单调增区间的子区间可求的最大值，再利用正弦函数的性质可求在的取值范围.

（1）,

设，

因为的周期为，故，故.

所以，而为偶函数，

所以即，

因为，故，

综上，，.

（2），

令，，解得，

故函数的单调递增区间为，

所以存在使得成立.

因为，所以，故即，

故的最大值为.

此时，

因为，故，所以，

在上的取值范围为.