Question

已知命题：“双曲线任意一点到直线的距离分别记作，则为定值”为真命题.

（1）求出的值.

（2）已知直线 关于y轴对称且使得上的任意点到的距离满足为定值，求的方程.

（3）已知直线是与（2）中某一条直线平行（或重合）且与椭圆交于两点，求的最大值.

Answer

（1）；（2）或者；（3）.

【解析】

（1）设，利用点在双曲线上和点到直线的距离公式可求为定值且定值为.

（2）设，设为椭圆任意点，利用点到直线的距离公式可求，取，可计算出的值，再验证对任意的都成立，从而可求直线的方程.

（3）设直线，，联立直线方程和椭圆方程，可证，对该式两边平方后再利用点在椭圆上化简可得，从而，根据后两个结论可证，利用基本不等式可求的最大值.

（1）设，则

又到直线距离分别为：

，所以，

故为定值且定值为.

（2）设，设为椭圆任意点，

则到的距离分别为：

，

所以

取，，因为为定值，

故，

所以， 故，

即或，

又当或时，对椭圆上任意的，

总有，该值为定值.

故的方程为或者.

即或者.

（3）设直线，，

由可得，

又

.

所以，即，

整理得到，所以，

故.

因为，

故，当且仅当时等号成立，

所以的最大值为.