Question

已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点.

（1）若，求实数的值；

（2）是否存在实数，使得两点关于对称?若存在，求的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）不存在，理由见解析

【解析】

（1）将直线的方程代入双曲线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算即可求得的值；

（2）假设存在实数，根据直线的斜率关系求得的值，由（1）求得，利用中点坐标公式，即可求得的中点坐标，验证中点是否在直线上．

【解析】
（1）直线与双曲线联立，消去得①，

由，且，

得，且；设，、，，

由，所以，又，，

，

，

即，

，解得．

经检验，满足题目条件，

，求实数的值；

（2）假设存在实数，使、关于对称，则直线与垂直，．

直线的方程为．将代入③得，

中点横坐标为2，纵坐标为．

但中点不在直线上，

即不存在实数，使得、关于直线对称．