Question

设定义在上的函数满足：对任意的，当时，都有.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若为周期函数，证明：是常值函数；

（3）若

①记，求数列的通项公式；

②求的值.

Answer

（1） ；（2）证明见解析；（3）①；②

【解析】

（1）直接由求得的取值范围；

（2）若是周期函数，记其周期为，任取，则有，证明对任意，，，可得，，再由，，，，，，可得对任意，，为常数；

（3）依题意，可求得（1），（1），再分别利用，即可求得答案．

（1）【解析】
由，得，

，，得．

故的范围是，；

（2）证明：若是周期函数，记其周期为，任取，则有

，

由题意，对任意，，，

．

又，，并且

，，，，，，

对任意，，为常数；

（3）【解析】
①，，

，

由，

，

，

令时，可得（1），

，

，

，

②，．

，

令，则，

由，可得，

于是，，，

由