Question

已知函数，以下四个命题：

①当时，函数存在零点；  

②当时，函数没有极值点；

③当时，函数在上单调递增；  

④当时，在上恒成立．

其中的真命题为(     )

A.②③ B.①④ C.①② D.③④

Answer

D

【解析】

对函数求导得导数大于0在恒成立，可得③正确，从而排除B，C，再根据导数方程，可得当时，方程有解，故排除A，从而得到正确选项.

因为，

对③，当时，，因为时，恒成立，所以函数在上单调递增，故③正确，故排除B，C；

对②，因为，令，因为，所以函数在单调递减，且时，；时，；又因为在存在是连续的函数，且，所以两个函数一定有交点，所以存在，使得，即有解，且在的两侧导数值异号，所以时，函数没有极值点是错误，故排除A.

故选：D