Question

已知f（x）的定义域为（0，＋∞），且满足f（2）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y），又当x₂>x₁>0时，f（x₂）>f（x₁）．

（1）求f（1）、f（4）、f（8）的值；

（2）若有f（x）＋f（x－2）≤3成立，求x的取值范围．

Answer

（1）0，2, 3 （2）（2,4]

【解析】

试题（1）令可求得，令可求得，令可求得；（2）借助于（1）的结论将不等式转化为f[x（x－2）]≤f（8），借助于函数单调性和定义域可得到关于x的不等式，从而得到x的取值范围

试题解析：（1）f（1）＝f（1）＋f（1），∴f（1）＝0，f（4）＝f（2）＋f（2）＝1＋1＝2，

f（8）＝f（2）＋f（4）＝2＋1＝3．

（2）∵f（x）＋f（x－2）≤3，∴f[x（x－2）]≤f（8），又∵对于函数f（x）有x2>x1>0时f（x2）>f（x1），∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数．

∴⇒2