Question

如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题（Ⅰ）先证，，再可证平面，进而可证平面；（Ⅱ）先建立空间直角坐标系，再算出平面和平面的法向量，进而可得平面与平面夹角的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）在图1中，

因为，，是的中点，，所以

即在图2中，，

从而平面

又，所以平面．

（Ⅱ）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，，

所以为二面角的平面角，所以．

如图，以为原点，建立空间直角坐标系，

因为，

所以

得，．

设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，

则，得，取，

，得，取，

从而，

即平面与平面夹角的余弦值为．