Question

已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求 的面积的最大值．

Answer

（1）； （2）.

【解析】

（1）依题意列出关于a,b,c的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到，再求出和，再写出三角形的面积，令，运用基本不等式即可求得面积的最大值.

（1）设椭圆的焦距为,则，解得，又，所以椭圆的方程为：．

（2）由题意知（为点到直线的距离），

设的方程为，联立方程得，

消去得，

设，，则，，

则，

又，

，

令，由，得，

，，易证在递增，，

，面积的最大值．