Question

已知函数．

（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（Ⅱ）．

【解析】

试题（Ⅰ）显然函数的定义域为.

因为，所以，

当时，在上恒成立，函数在单调递减，

∴在上没有极值点；

当时，由得，由得，

∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．

∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点

（Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知，

∴，

令，所以，

令可得在上递减，令可得在上递增，

∴，即.