Question

已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，且，其中为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过点且与直线平行的直线与椭圆交于，两点，若点满足，且与椭圆的另一个交点为，求的值.

Answer

（1） （2）

【解析】

(1)由题意知是以为斜边的等腰直角三角形，从而求得B点坐标，代入椭圆方程求出 ，即可得解；(2)设点，，，直线的方程与椭圆方程联立求出，，，利用计算出点Q的坐标, 因为点在椭圆上，所以，整理得，因为， ，，方程解得，即.

【解析】
（1）因为直线的斜率为1，且，

所以是以为斜边的等腰直角三角形，

从而有，

代人椭圆的方程，得，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）得，所以直线的方程为.

设点，，，

将代入，得，

所以，，

所以.

因为，所以，所以.

设，则，，

所以

因为点在椭圆上，所以，

所以，

整理得，.

由上得，且可知，，

所以，整理得，

解得或（舍去），即.