Question

设函数，，其中，为正实数.

（1）若的图象总在函数的图象的下方，求实数的取值范围；

（2）设，证明：对任意，都有.

Answer

（1） （2）证明见解析

【解析】

(1)据题意可得在区间上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的的取值范围；(2)不等式整理为，由(1)可知当时，，利用导数判断函数的单调性从而证明在区间上成立，从而证明对任意，都有.

（1）【解析】
因为函数的图象恒在的图象的下方，

所以在区间上恒成立.

设，其中，

所以，其中，.

①当，即时，，

所以函数在上单调递增，，

故成立，满足题意.

②当，即时，设，

则图象的对称轴，，，

所以在上存在唯一实根，设为，则，，，

所以在上单调递减，此时，不合题意.

综上可得，实数的取值范围是.

（2）证明：由题意得，

因为当时，，，

所以.

令，则，

所以在上单调递增，，即，

所以，从而.

由（1）知当时，在上恒成立，整理得.

令，则要证，只需证.

因为，所以在上单调递增，

所以，即在上恒成立.

综上可得，对任意，都有成立.