Question

已知函数.

（1）若函数有2个零点，求实数的取值范围；

（2）若关于的方程有两个不等实根，证明：

①；

②.

Answer

（1） （2）①证明见解析 ②证明见解析

【解析】

（1）利用导数研究函数的单调性，结合零点情况得到函数大致变化规律，即可求解（2）原函数化为，求导数，分析函数单调性，转化为，构造函数利用单调性证明不等式.

（1）由题知，与有两个交点，，.

由得，；由得，，

在上单增，在上单减，

又，且时，，故.

（2）①方程可化为，

令，，

所以在上单增，在上单减，

又，不妨设.

则，要证明，只需证

且在上单减，

所以证

令，

则

当时，，

即在单增.又，

对恒成立，

即成立

即成立

②由①得，

即，命题得证.