Question

一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币的正面向上，棋子向前跳一站；若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败）或者第100站（获胜）时，游戏结束.

（1）求；

（2）求证：数列为等比数列；

（3）求玩该游戏获胜的概率.

Answer

（1），， （2）证明见解析 （3）

【解析】

（1）根据题意，分析可得棋子在1站是一个必然事件，即可得P1的值，进而分析棋子跳到2站以及棋子跳到3站的情况，据此求出P2、P3的值（2）根据题意，分析可得，变形可得，即可得结论（3）由（2）知，利用累加法求出，由对立事件的概率性质求出.

（1）棋子开始在第1站是必然事件，；

棋子跳到第2站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，

其概率为；

棋子跳到第3站，有两种情况，①第一次掷硬币反面向上，其概率为；②前两次掷硬币都是正面向上，其概率为；

（2）棋子棋子跳到第站，有两种情况：①棋子先跳到第n站，又掷硬币反面向上，其概率为；②棋子先跳到第站，又掷硬币正面向上，其概率为.故.

又，

数列…是以为首项，为公比的等比数列.

（3）由（2）得.

…

…

所以获胜的概率为