Question

已知函数,为的导函数.

（1）证明：在定义域上存在唯一的极大值点；

（2）若存在,使,证明：.

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）对函数求导得,当时, ；当时,,所以在上递减,又因为,,判断出单调性,即可证明在定义域上存在唯一的极大值点.

（2）假设存在,使,代入函数得,整理得.设新函数,求导结果大于,在上递增,再设,则,即,,整理可得,根据对数均值不等式得出.

（1）,

当时,,,,

“”不能同时取到,所以；

当时,,所以在上递减,

因为,,

所以在定义域存在唯一,使且；

当时,；当时,,

所以是在定义域上的唯一极值点且是极大值点.

（2）存在,使,即,

得.

设,则,在上递增,

不妨设,则,即,,

所以,得,

根据对数均值不等式,可得,.