Question

在平面直角坐标系中，，是曲线段：（是参数，）的左、右端点，是上异于，的动点，过点作直线的垂线，垂足为.

（1）建立适当的极坐标系，写出点轨迹的极坐标方程；

（2）求的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）根据的参数方程可得直角坐标方程,求出端点,,求在处的切线斜率为和与轴的交点坐标,由垂直关系得的轨迹是以线段为直径的圆弧（不含端点）,由此建立极坐标系,得出极坐标方程.

（2）设直线与以为圆心,为半径的圆交于两点,,则根据半径相等,由相交弦定理,得,代入,即可得出最大值.

【解析】
（1）如图,曲线段即为抛物线上一段,

端点,,

在处的切线斜率为,与轴的交点坐标为.

因为,所以的轨迹是以线段为直径的圆弧（不含端点）,

以线段的中点为极点,射线为极轴,建立极坐标系,

则点轨迹的极坐标方程为.

（2）设直线与以为圆心,为半径的圆交于两点,,

则,

由相交弦定理,得

,

当,即时,最大,最大值为.