Question

如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA＝SB＝SC＝SD，点E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，点P是MN上的一点．

（1）证明：EP∥平面SBD；

（2）求四棱锥S﹣ABCD的表面积．

Answer

（1）证明见解析（2）．

【解析】

（1）根据已知条件可证平面EMN∥平面SBD，即可证结论；

（2）四棱锥的各侧面为全等的等腰三角形，只需求出底边的高，求出侧面积，即可求出全面积.

（1）证明：连接BD，EM，EN，

∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，

∵BD⊂平面SBD，EM⊄平面SBD，∴EM∥平面SBD，

∵SD⊂平面SBD，MN⊄平面SBD，∴MN∥平面SBD，

又EM⊂平面EMN，MN⊂平面EMN，MN∩EM＝M，

∴平面EMN∥平面SBD，而EP⊂平面EMN，

则EP∥平面SBD；

（2）【解析】
在四棱锥S﹣ABCD中，由底面ABCD是边长为2的正方形，

SA＝SB＝SC＝SD，可知四棱锥S﹣ABCD是正四棱锥，

又E为BC的中点，连接SE，

则SE为四棱锥的斜高，可得，

∴四棱锥S﹣ABCD的表面积S．