Question

已知函数f（x）＝log_a（x﹣1）（a＞0，且a≠1）．

（1）若f（x）在[2，9]上的最大值与最小值之差为3，求a的值；

（2）若a＞1，求不等式f（2^x）＞0的解集．

Answer

（1）a＝2或．（2）{x|x＞1}．

【解析】

（1）对a分类讨论，根据单调性求出函数的最值，即可求解；

（2）根据单调性，把对数不等式等价转化指数不等式，即可求出结论.

（1）①当a＞1 时，f（x）＝loga（x﹣1）在（1，+∞）上为增函数，

∴在[2，9]上函数f（x）的最小值，最大值分别为：

f（x）min＝f（2）＝0；f（x）max＝f（9）＝loga8，

∴loga8﹣0＝3，∴a＝2；

②当0＜a＜1 时，f（x）＝logax 在（1，+∞）上为减函数，

∴在[2，9]上函数f（x）的最小值、最大值分别为：

f（x）min＝f（9）＝loga8，f（x）max＝f（2）＝0，

∴﹣loga8＝3，即loga8＝﹣3，∴a；

a＝2或．

（2）若a＞1，不等式f（2x）＞0⇔f（2x）＞f（2）⇔2x＞2⇔x＞1；

故若a＞1，不等式f（2x）＞0的解集为{x|x＞1}．