Question

如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁各条棱长均为4，且AA₁⊥平面ABC，D为AA₁的中点，M，N分别在线段BB₁和线段CC₁上，且B₁M＝3BM，CN＝3C₁N，

（1）证明：平面DMN⊥平面BB₁C₁C；

（2）求三棱锥B₁﹣DMN的体积．

Answer

（1）证明见解析 （2）4．

【解析】

（1）取线段MN的中点O，线段BC的中点E，可证DO∥AE，以及DO⊥平面BB1C1C，即可证得结论；

（2）用等体积法转化为以D顶点，即可求出体积.

（1）证明：取线段MN的中点O，线段BC的中点E，连接DO，AE，OE，

由题意可得，OE（MB+CN）CC1．

因为D为AA1的中点，所以ADAA1，

因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，

所以AD∥OE，AD＝OE，

所以四边形AEOD为平行四边形，所以DO∥AE．

因为点E为BC的中点，所以AE⊥BC，

因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AE，则AE⊥CC1，因为BC∩CC1＝C，

所以AE⊥平面BB1C1C，则DO⊥平面BB1C1C，

因为DO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面BB1C1C．

（2）【解析】
因为B1M＝3BM，BB1＝4，所以B1M＝3．

所以△B1MN的面积S6．

由（1）可得，DO＝AE2．

故三棱锥B1﹣DMN的体积为：

VV4．